Shinichi Mochizuki: La paradoja de la prueba

Shinichi Mochizuki, el matemático al que nadie puede entender.

Traducción de Fernando Galicia.

El 31 de Agosto del 2012, el matemático japonés Shinichi Mochizuki publicó en Internet cuatro artículos originales.

Los títulos eran inescrutables. El volumen era de enormes proporciones: 512 páginas en total. La promesa era audaz: Mochizuki decía haber probado la Conjetura ABC, un famoso, aunque en principio simple, problema de la teoría de números que ha confundido a los matemáticos por décadas.

Después, Mochizuki desapareció. No envío su trabajo a la revista Annals of Mathematics, ni dejó algún mensaje en ninguno de los foros web frecuentados por los matemáticos alrededor del mundo. Sólo publicó los artículos, y esperó.

Dos días después, Jordan Ellenberg, un profesor de matemáticas en la Universidad de Wisconsin-Madison, recibió una alerta de Google Scholar, un servicio que escanea en Internet buscando artículos de temas seleccionados. El 2 de Septiembre, Google Scholar le envió los artículos de Mochizuki: Tal vez esté interesado en esto.

“Dije, ‘Claro Google, claro que estoy interesado en eso’” Ellenberg recuerda. “Lo publiqué en Facebook y en mi blog, diciendo, ‘Por cierto, parece ser que Mochizuki resolvió la Conjetura ABC’”.

Internet explotó. En pocos días, hasta los grandes medios habían recogido la historia. “La Teoría Matemática Más Compleja del Mundo Ha Sido Resuelta”, anunció The Telegraph. “Posible avance en la Conjetura ABC”, reportó el New York Times, más reservado.

En MathOverflow, un foro online de temas matemáticos, individuos alrededor del mundo comenzaron a debatir y discutir la aseveración de Mochizuki. La pregunta que rápidamente emergió como la más popular en el foro, impulsada por los votos de la comunidad, era simple: ¿Puede alguien brevemente explicar la filosofía detrás de este trabajo y comentar sobre por qué habría de esperar que arroje luz en preguntas como la Conjetura ABC? preguntó Andy Putman, profesor adjunto en la Rice University. O en palabras comunes: No le entiendo. ¿Alguien sí?

El problema, como muchos matemáticos descubrían al visitar el sitio web de Mochizuki, era que la prueba era imposible de leer. El primer artículo, llamado “Inter-universal Teichmuller Theory I: Construction of Hodge Theaters”, comienza afirmando que el objetivo es “establecer una versión aritmética de la teoría de Teichmuller para campos de números equipados con una curva elíptica…, aplicando la teoría de semigraphs de anabelioids, Frobenioids, la función etale theta y log-shells”.

Esto no es sinsentido sólo para el hombre común. También lo era para la comunidad matemática.

“Examinándolo, te sientes un poco como si estuvieras leyendo un artículo del futuro, o del espacio exterior,” escribió Ellenberg en su blog.

“Es muy, muy raro,” dijo el profesor de la Columbia University, Johan de Jong, quien trabaja en un campo relacionado de las matemáticas.

“Mochizuki ha creado tantas herramientas matemáticas nuevas y ha juntado tantas y tan dispares ramas de las matemáticas que su artículo está lleno con vocabulario que nadie podría entender. Era totalmente nuevo, y totalmente misterioso”.

Como lo expuso el profesor de Tufts University, Moon Duchin: “Realmente ha creado su propio mundo”.

Iba a tomar un rato antes de que cualquiera fuera capaz de entender el trabajo de Mochizuki, ni qué hablar de juzgar si su prueba era correcta o no. En los siguientes meses, los artículos pesaron como una roca sobre la comunidad matemática. Un puñado de personas se acercaron y comenzaron a examinarlos. Otros intentaron, después se rindieron. Algunos los han ignorado por entero, prefiriendo observar desde la distancia. Y el hombre en cuestión, el hombre que había clamado resolver uno de los problemas más grandes de las matemáticas, no emitió un solo sonido.

Por siglos, los matemáticos han luchado por una sola meta: entender como trabaja el universo, y describirlo. Para lograr este objetivo, las matemáticas en sí son sólo una herramienta –es el lenguaje que los matemáticos han inventado para ayudarse a describir lo conocido e investigar lo ignorado–.

La historia de la investigación matemática está marcada por ciertos parteaguas que vienen en la forma de teoremas y conjeturas. En términos simples, un teorema es una observación que se sabe cierta. El teorema de Pitágoras, por ejemplo, hace una observación para todos los triángulos rectángulos, la relación entre la longitud de sus tres lados, a, b y c está expresada por la ecuación a²+ b²= c². Las conjeturas son predecesores del teorema –propuestas de teoremas, observaciones que los matemáticos creen ser ciertas, pero que aún necesitan confirmarse–. Cuando una conjetura es probada, se convierte en teorema y cuando eso pasa, los matemáticos se regocijan, y agregan su nuevo teorema a su cuenta del universo comprendido.

“El punto no es probar teoremas,” explica Ellengar. “El punto es entender cómo funciona el universo y qué demonios está sucediendo”.

Ellenberg lava los trastes mientras habla conmigo por teléfono, y yo puedo oír el sonido de un niño pequeño al fondo. Ellenberg es un apasionado de explicarle las matemáticas al mundo. Escribe una columna sobre matemáticas para la revista Slate y está trabajando en un libro llamado How Not To Be Wrong, que busca ayudar a gente común a aplicar las matemáticas en sus vidas.

El sonido de los trastes cesa mientras Ellenberg me explica lo que motiva a sus compañeros matemáticos y a él mismo. Lo imagino gesticulando en el aire con manos jabonosas: “Hay un sentimiento de que hay una gran área oscura de ignorancia, pero todos nosotros empujando juntos, estamos avanzando algunos pasos para expandir las fronteras”.

Shinichi Mochizuki, geómetra inter-universal.

La Conjetura ABC sondea una zona profunda de la oscuridad, alcanzando a los fundamentos de las matemáticas mismas. Propuesta por primera vez por los matemáticos David Masser y Joseph Oesterle en la década de 1980, hace una observación sobre una relación fundamental entre la adición y la multiplicación. Y a pesar de sus profundas implicaciones, la Conjetura ABC es famosa porque, en la superficie, parece muy simple.

Comienza con una sencilla ecuación: a + b = c.

Las variables a, b, y c, que dan a la conjetura su nombre, tienen alguna restricciones. Necesitan ser números enteros y ni a o b pueden compartir ningún factor común; esto es, no pueden ser divisibles por el mismo número primo. Por ejemplo, si a fuera 64, que es igual que 2⁶, entonces b no podría ser ningún número múltiplo de dos. En este caso, b podría ser 81, que es 3⁴. Ahora a y b no comparten ningún factor, y nosotros obtenemos la ecuación 64 + 81 = 145.

No es difícil inventar combinaciones de a y b que satisfagan estas condiciones. Podría tratarse de grandes números, como 3,072 + 390,625 = 393,697 (3,072 = 2¹⁰x 3 and 390,625 = 5⁸, sin factores comunes), o números muy pequeños, como 3 + 125 = 128 (125 = 5 x 5 x5).

Lo que la Conjetura ABC dice después es que las propiedades de a y b afectan las propiedades de c. Para entender esta observación, ayudará reescribir estas ecuaciones a + b = c en versiones hechas de factores primos:

Nuestra primera ecuación, 64 + 81 = 145, es equivalente a 2⁶+ 3⁴= 5 x 29.

Nuestro segundo ejemplo, 3,072 + 390,625 = 393,697 es equivalente a 2¹⁰x 3 + 5⁸= 393,697 (¡que también es primo!)

En nuestro último ejemplo, 3 + 125 = 128 es equivalente a 3 + 5³= 2⁷

Las primeras dos ecuaciones no son como la tercera, porque en las dos primeras se tienen muchos factores primos en el lado izquierdo de la ecuación y muy pocos en el lado derecho. El tercer ejemplo es lo opuesto –hay más factores primos en el lado derecho (siete) de la ecuación que del izquierdo (sólo cuatro)–. Parece ser que en todas las posibles combinaciones de a, b, y c el tercer caso es muy raro. La Conjetura ABC esencialmente dice que cuando se tienen muchos factores primos en el lado izquierdo de la ecuación entonces, usualmente, no habrán tantos del lado derecho.

Claro que muchos, muy raro y no tantos son palabras muy vagas, y en la versión formal de la Conjetura ABC todos estos términos se establecen en una forma matemáticamente más precisa. Pero aún en esta versión rebajada, uno puede empezar a apreciar las implicaciones de esta conjetura. La ecuación está basada en la adición, pero la observación de la conjetura es más sobre la multiplicación.

“En realidad es sobre algo muy, muy básico, sobre una restricción que relaciona las propiedades multiplicativas y aditivas de los números,” dice Minhyong Kim, profesor en la Oxford University. “Si hay algo nuevo que descubrir sobre ello, podrías esperar que tuviera muchas repercusiones”.

No es algo tan intuitivo. Mientras los matemáticos inventaron la adición y la multiplicación en primer lugar, basados en su conocimiento de las matemáticas del momento, no hay razón para asumir que las propiedades aditivas de los números de alguna manera influyeran o afectaran sus propiedades multiplicativas.

“Hay muy poca evidencia de ello,” dice Peter Sarnak, profesor en Princeton University, quien se ha autodeclarado escéptico de la Conjetura ABC. “Sólo creeré en ello cuando se pruebe”.

¿Pero si fuera cierto? Los matemáticos dicen que revelaría una profunda relación entre la adición y la multiplicación de la que no se sabía antes.

Aún Sarnak, el escéptico, reconoce esto.

“Si es verdad, entonces será la cosa más poderosa que tengamos,” dice.

Sería tan poderosa, de hecho, que automáticamente destrabaría muchos acertijos matemáticos legendarios. Uno de ellos sería el último teorema de Fermat, un infame problema matemático que fue propuesto en 1637, y resuelto apenas por Andrew Wiles en 1993. La prueba de Wiles le hizo acreedor a más de 100,000 marcos (equivalente a más de $50,000 dólares en 1997), una recompensa que fue ofrecida casi un siglo antes, en 1908. Wiles no resolvió el último teorema de Fermat a través de la conjetura ABC –tomo una ruta diferente– pero si la conjetura ABC fuera cierta, entonces la prueba para el último teorema de Fermat sería una consecuencia fácil.

Por su simplicidad, la Conjetura ABC es bien conocida por todos los matemáticos. El profesor de CUNY Lucien Szpiro dice que “cualquier profesional ha intentado al menos una noche” teorizar sobre la prueba. Sin embargo, pocas personas han intentando resolverla seriamente. Szpiro, cuya conjetura epónima es una precursora de la Conjetura ABC, presentó una prueba en el 2007, pero pronto se le encontraron problemas.

Desde entonces, nadie se ha atrevido a tocarlo, nadie hasta Mochizuki.

Cuando él publicó sus artículos, la comunidad matemática tuvo muchas razones para ser entusiasta. Estaban emocionados no sólo porque alguien había dicho probar una conjetura importante, sino por quien lo había dicho.

Mochizuki tenía fama de brillante. Nacido en Tokyo, se mudó a New York junto con sus padres, Kiichi y Anne Mochizuki, cuando tenía cinco años. Entró en la Philips Exeter Academy, una preparatoria muy selectiva en New Hampshire. Ahí, recorrió los diferentes grados a la velocidad de la luz, y se graduó dos años después, a la edad de 16, con conocimientos avanzados de matemáticas, física, historia europea y americana, y latín.

Después Mochizuki se matriculó en la Princeton University donde, otra vez, terminó antes que sus compañeros, ganando su título en matemáticas en tres años y rápidamente pasando a su doctorado, el cual recibió a la edad de 23 años. Después de dar clases en la Harvard University por dos años, regresó a Japón y se unió al Research Institute for Mathematical Sciences en la Universidad de Kyoto. En el 2002, se convirtió en profesor de tiempo completo a la inusual joven edad de 33 años. Sus primeros trabajos fueron ampliamente reconocidos por su calidad.

Su destreza académica no es la única característica que distingue a Mochizuki de sus colegas. Su amigo, el profesor Minhyong Kim de Oxford, dice que la característica más sobresaliente de Mochizuki es su intensa concentración en el trabajo.

“Aún entre los muchos matemáticos que he conocido, él parece tener una extrema tolerancia para solamente sentarse y hacer matemáticas por largas, largas horas,” dice Kim.

Mochizuki y Kim se conocieron en la década de 1990, cuando Mochizuki aún era un estudiante no graduado en Princeton. Kim, en intercambio de la Universidad de Yale, recuerda a Mochizuki avanzando en el estudio de los trabajos del matemático francés Alexander Grothedieck, cuyos libros en geometría aritmética y algebraica son material de lectura obligatorios para cualquier matemático en ese campo.

“La mayoría de nosotros gradualmente llegamos a entender [los trabajos de Grothendieck] a lo largo de muchos años, después de echar un vistazo por aquí y por allá,” dijo Kim. “Son miles y miles de páginas”.

Pero no Mochizuki.

“Mochizuki… él sólo las leyó del principio a fin sentado en su escritorio,” recuerda Kim. “Empezó ese procedimiento cuando aún no se graduaba, y en pocos años, había terminado todo”.

Unos años después de regresar a Japón, Mochizuki se enfocó en la Conjetura ABC. Al paso de los años, empezó a circular el rumor de que había resuelto el problema, y el mismo Mochizuki dijo que esperaba resultados para el 2012. Así que cuando los artículos aparecieron, la comunidad matemática ya estaba esperando, ilusionada. Pero después el entusiasmo se derrumbó.

“Sus otros artículos son legibles, puedo entenderlos y son fantásticos,” dice de Jong, quien trabaja en un campo similar. Caminando de un lado a otro en su oficina en la Universidad de Columbia, de Jong mueve su cabeza y recuerda su primera impresión sobre los artículos. Eran diferentes. Ilegibles. Después de trabajar en soledad por más de una década, Mochizuki ha construido una estructura de lenguaje matemático que sólo él puede entender. Para siquiera empezar a analizar los cuatro artículos publicados en Agosto del 2012, uno debería leer a través de cientos, incluso miles de páginas de trabajo previo, que no ha sido aprobado o revisado por pares. Tomaría por lo menos un año leerlo y entenderlo todo. De Jong, quien estaba por tomar un año sabático, por un momento consideró gastar ese tiempo con los trabajos de Mochizuki, pero después de ver la altura de la montaña, reculó.

“Decidí que no puedo trabajar en esto. Me volvería loco,” dice.

Pronto, la frustración se convirtió en ira. Pocos profesores estaban dispuestos a criticar directamente a un compañero matemático, pero casi todas las personas a las que entrevisté rápidamente señalaban que Mochizuki no estaba siguiendo las reglas de la comunidad. Usualmente, dijeron, los matemáticos discuten sus descubrimientos con sus colegas. Normalmente, publican pre-prints en foros en línea ampliamente respetados. Después entregan sus artículos en Annals of Mathematics, donde los trabajos son revisados por eminentes matemáticos antes de su publicación. Mochizuki estaba transgrediendo la norma. De acuerdo a sus colegas, estaba siendo “no ortodoxo”.

Pero lo que más elevó su ira fue el rechazo de Mochizuki a dictar conferencias. Usualmente, después de la publicación, un matemático expone su trabajo, viajando a varias universidades para explicar sus artículos y responder las preguntas de sus colegas. Mochizuki ha rechazado múltiples invitaciones.

“Una prominente universidad le ha dicho ‘ven, explica tus resultados,’ a lo que él respondió que ‘no habría forma de hacer eso en una plática,’” dice Cathy O’Neil, la esposa de de Jong, una ex profesora de matemáticas mejor conocida como la bloguera Mathbabe.

“Entonces le dijeron, ‘Pues, quédate una semana,’ y él respondió, ‘No lo podría hacer en una semana’”.

“Y ellos, ‘Quédate un mes. Quédate el tiempo que quieras,’ aún así el respondió que no”.

“El tipo no quiere hacerlo”.

Kim simpatiza con sus frustrados colegas, pero sugiere una razón diferente para el enojo. “Es realmente doloroso leer el trabajo de otra persona,” dice. “Eso es todo… todos nosotros sólo somos muy flojos para leerlo”.

Kim también defiende rápidamente a su amigo. Dice que la negativa de Mochizuki se debe a su “carácter levemente tímido” así como a su asidua ética de trabajo. “Es un hombre muy trabajador y él solamente no quiere gastar tiempo en aviones y hoteles y esas cosas”.

O’Neil, por el contrario, considera culpable a Mochizuki, diciendo que su negativa a cooperar impone una carga injusta a sus colegas.

“No puedes decir que has probado algo si no lo has explicado,” dice. “Una prueba es una construcción social. Si la comunidad no la entiende, no has hecho tu trabajo”.

Hoy, la comunidad matemática enfrenta un enigma: la prueba a una conjetura muy importante cuelga del aire, aún así nadie la tocará. Por un breve momento en octubre, la atención se dirigió a Vesselin Dimitrov, un estudiante de Yale, que señaló una potencial contradicción en la prueba, pero Mochizuki rápidamente respondió, diciendo que él había tomado en cuenta el problema. Dimitrov se retractó, y la actividad respecto al tema decayó.

Mientras los meses pasan, el silencio también ha empezado a cuestionar la premisa básica de la academia matemática. Duchin explica la postura más popular de esta forma: “Las pruebas están bien o mal. Es la comunidad quien pasa veredicto”.

Esta piedra fundacional es de la que están orgullosos los matemáticos. La comunidad trabaja en conjunto; no son despiadados o competitivos. Los colegas revisan los trabajos de los otros, gastando horas tras horas verificando que un colega lo haya hecho bien. Esta conducta no es sólo altruista, sino necesaria: a diferencia de las ciencias médicas, donde uno sabe que está bien si el paciente se curó, o en ingeniería, donde el cohete despega o no, en las matemáticas teóricas, mejor conocidas como matemáticas puras, no existe ningún referente físico o visual. Están basadas enteramente en la lógica. Para saber que estás bien, se necesita que alguien más, preferentemente muchas otras personas, camine tras tus pasos y confirme que cada uno de ellos fue dado en un piso sólido. Una prueba en el vacío no es una prueba siquiera.

Incluso una prueba incorrecta es mejor que nada, pues si las ideas son nuevas, pueden ser útiles para resolver otros problemas, o inspirar a otros matemáticos para dar con la respuesta correcta. Así que la pregunta más apremiante no es si Mochizuki está bien o no; la pregunta más importante es: ¿cumplirá la comunidad matemática su promesa, se levantará y leerá los artículos?

Los prospectos parecen algo flojos. Szpiro está entre los pocos que han intentado entender pequeños pedazos del trabajo. Mantiene un taller semanal con sus estudiantes post-doctorales en CUNY para discutir los artículos, pero dice que están limitados a un análisis “local” y que no entienden el gran panorama aún. El otro candidato conocido es Go Yamashita, un colega de Mochizuki en la Universidad de Kyoto. De acuerdo a Kim, Mochizuki está impartiendo un seminario privado con Yamashita, y Kim espera que Yamashita después vaya, comparta y explique el trabajo. Si Yamashita no es capaz de entender algo, no está claro quien más podrá con la tarea.

Por ahora, todo lo que la comunidad matemática puede hacer es esperar. Mientras esperan, se cuentan historias, y recuerdan los grandes momentos de las matemáticas –el año en que Wiles resolvió el último teorema de Fermat; como Perelman probó la conjetura de Poincaré–. El profesor de Columbia Dorian Goldfield cuenta la historia de Kurt Heegner, un maestro de preparatoria en Berlín, quien resolvió un problema clásico propuesto por Gauss. “Nadie lo creía. Todos los matemáticos famosos lo despreciaron y dijeron que estaba mal”. El artículo de Heegner se empolvó por más de una década hasta que finalmente, cuatro años después de su muerte, los matemáticos se dieron cuenta que Heegner había estado en lo correcto todo el tiempo. Kim recuerda la prueba propuesta por Yoichi Miyaoka para el último teorema de Fermat en 1988, que ganó mucha atención de los medios antes de que se le descubrieran varias fallas serias. “Él tuvo mucha vergüenza,” dice Kim.

Mientras se cuentan estas anécdotas, Mochizuki y sus pruebas cuelgan en el aire. Todas estas historias son posibles finales. La única pregunta es, ¿cuál?

Kim es una de las pocas personas que permanecen optimistas sobre el futuro de la prueba. Planea una conferencia en la Universidad de Oxford en Noviembre, y espera invitar a Yamashita para que venga y comparta lo que ha aprendido de Mochizuki. Tal vez entonces más cosas quedarán claras.

En lo que respecta a Mochizuki, quien ha rechazado todas las peticiones de los medios y parece tan reacio a promover aún su propio trabajo, uno tiene que preguntarse si siquiera él se dará cuenta de la tormenta que ha creado.

En su sitio web se encuentra una de las únicas fotos de Mochizuki disponibles en Internet, la cual muestra a un hombre de mediana edad con lentes pasados de moda al estilo de los 90’s, con la mirada fija en algún lugar sobre nuestras cabezas. Un único título inventado cuelga sobre su cabeza. No es matemático sino geómetra inter-universal.

¿Qué significa eso? Su sitio web no ofrece ninguna pista. Ahí están sus artículos, de miles de páginas de largo, montón sobre montón de densas matemáticas. Su currículo es sucinto y formal. Reporta su estado civil como “soltero (nunca casado)”. Y también hay una página llamada Ideas de Shinichi Mochizuki, que sólo tiene 17 entradas. “Me gustaría reportar mi reciente progreso,” escribe en Febrero del 2009. “Déjenme reportar mi progreso,” en Octubre 2009. “Déjenme reportar mi progreso,” Abril 2010, Junio 2011, Enero 2012. Después sigue lenguaje matemático. Es difícil decir si está emocionado, desalentado, frustrado o fascinado.

Mochizuki ha reportado su progreso todos estos años, ¿pero a donde está yendo? Este “geómetra inter-universal”, este posible genio, puede haber encontrado la llave de algo que redefiniría la teoría de números como la conocemos. Tal vez ha delineado un nuevo rumbo hacia lo oscuro y desconocido de la matemáticas. Pero, por ahora, sus huellas no son rastreables. A donde quiera que vaya, parece estar viajando solo.